@c Language: Brazilian Portuguese, Encoding: iso-8859-1
@c /Trigonometric.texi/1.15/Sat Jun  2 00:13:11 2007/-ko/
@menu
* Introdu@value{cedilha}@~{a}o ao Pacote Trigonom@'{e}trico::  
* Fun@value{cedilha}@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Trigonometria::  
@end menu

@node Introdu@value{cedilha}@~{a}o ao Pacote Trigonom@'{e}trico, Fun@value{cedilha}@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Trigonometria, Trigonometria, Trigonometria
@section Introdu@value{cedilha}@~{a}o ao Pacote Trigonom@'{e}trico

Maxima tem muitas fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas definidas.  N@~{a}o todas as identidades
trigonometricas est@~{a}o programadas, mas isso @'{e} poss@'{i}vel para o usu@'{a}rio adicionar muitas
delas usando a compatibilidade de correspond@^{e}ncia de modelos do sistema.  As
fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas definidas no Maxima s@~{a}o: @code{acos},
@code{acosh}, @code{acot}, @code{acoth}, @code{acsc},
@code{acsch}, @code{asec}, @code{asech}, @code{asin}, 
@code{asinh}, @code{atan}, @code{atanh}, @code{cos}, 
@code{cosh}, @code{cot}, @code{coth}, @code{csc}, @code{csch}, 
@code{sec}, @code{sech}, @code{sin}, @code{sinh}, @code{tan}, 
e @code{tanh}.  Existe uma cole@value{cedilha}@~{a}o de comandos especialmente para 
manusear fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas, veja @code{trigexpand},
@code{trigreduce}, e o comutador @code{trigsign}.  Dois pacotes 
compartilhados extendem as regras de simplifica@value{cedilha}@~{a}o constru@'{i}das no Maxima, 
@code{ntrig} e @code{atrig1}.  Fa@value{cedilha}a @code{describe(@var{comando})}
para detalhes.

@node Fun@value{cedilha}@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Trigonometria,  , Introdu@value{cedilha}@~{a}o ao Pacote Trigonom@'{e}trico, Trigonometria
@section Fun@value{cedilha}@~{o}es e Vari@'{a}veis Definidas para Trigonometria

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acos (@var{x})
 - Arco Cosseno.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acosh (@var{x})
 - Arco Cosseno Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acot (@var{x})
 - Arco Cotangente.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acoth (@var{x})
 - Arco Cotangente Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acsc (@var{x})
 - Arco Cossecante.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} acsch (@var{x})
 - Arco Cossecante Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} asec (@var{x})
 - Arco Secante.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} asech (@var{x})
 - Arco Secante Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} asin (@var{x})
 - Arco Seno.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} asinh (@var{x})
 - Arco Seno Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} atan (@var{x})
 - Arco Tangente.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} atan2 (@var{y}, @var{x})
- retorna o valor de @code{atan(@var{y}/@var{x})} no intervalo de @code{-%pi} a
@code{%pi}.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} atanh (@var{x})
 - Arco tangente Hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
@c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
@defvr {Pacote} atrig1
O pacote @code{atrig1} cont@'{e}m muitas regras adicionais de simplifica@value{cedilha}@~{a}o 
para fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas inversas.  Junto com regras
j@'{a} conhecidas para Maxima, os seguintes @^{a}ngulos est@~{a}o completamente implementados:
@code{0}, @code{%pi/6}, @code{%pi/4}, @code{%pi/3}, e @code{%pi/2}.  
Os @^{a}ngulos correspondentes nos outros tr@^{e}s quadrantes est@~{a}o tamb@'{e}m dispon@'{i}veis.  
Fa@value{cedilha}a @code{load(atrig1);} para us@'{a}-lo.

@end defvr

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} cos (@var{x})
 - Cosseno.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} cosh (@var{x})
 - Cosseno hiperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} cot (@var{x})
 - Cotangente.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} coth (@var{x})
 - Cotangente Hyperb@'{o}lica.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} csc (@var{x})
 - Cossecante.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} csch (@var{x})
 - Cossecante Hyperb@'{o}lica.

@end deffn

@defvr {Vari@'{a}vel de op@value{cedilha}@~{a}o} halfangles
Default value: @code{false}

Quando @code{halfangles} for @code{true},
meios-@^{a}ngulos s@~{a}o simplificados imediatamente.
@c WHAT DOES THIS STATEMENT MEAN EXACTLY ??
@c NEEDS EXAMPLES

@end defvr

@c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
@c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
@defvr {Pacote} ntrig
O pacote @code{ntrig} cont@'{e}m um conjunto de regras de simplifica@value{cedilha}@~{a}o que s@~{a}o
usadas para simplificar fun@value{cedilha}@~{a}o trigonom@'{e}trica cujos argumentos est@~{a}o na forma
@code{@var{f}(@var{n} %pi/10)} onde @var{f} @'{e} qualquer das fun@value{cedilha}@~{o}es 
@code{sin}, @code{cos}, @code{tan}, @code{csc}, @code{sec} e @code{cot}.
@c NEED TO LOAD THIS PACKAGE ??

@end defvr

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} sec (@var{x})
 - Secante.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} sech (@var{x})
 - Secante Hyperb@'{o}lica.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} sin (@var{x})
 - Seno.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} sinh (@var{x})
 - Seno Hyperb@'{o}lico.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} tan (@var{x})
 - Tangente.

@end deffn

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} tanh (@var{x})
 - Tangente Hyperb@'{o}lica.

@end deffn

@c NEEDS CLARIFICATION AND EXAMPLES
@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} trigexpand (@var{expr})
Expande fun@value{cedilha}@~{o}es trigonometricas e hyperb@'{o}licas de
adi@value{cedilha}@~{o}es de @^{a}ngulos e de @^{a}ngulos multiplos que ocorram em @var{expr}.  Para melhores
resultados, @var{expr} deve ser expandida.  Para intensificar o controle do usu@'{a}rio
na simplifica@value{cedilha}@~{a}o, essa fun@value{cedilha}@~{a}o expande somente um n@'{i}vel de cada vez,
expandindo adi@value{cedilha}@~{o}es de @^{a}ngulos ou @^{a}ngulos multiplos.  Para obter expans@~{a}o completa
dentro de senos e cossenos imediatamente, escolha o comutador @code{trigexpand: true}.

@code{trigexpand} @'{e} governada pelos seguintes sinalizadores globais:

@table @code
@item trigexpand
Se @code{true} causa expans@~{a}o de todas as
express@~{o}es contendo senos e cossenos ocorrendo subseq@"{u}@^{e}ntemente.
@item halfangles
Se @code{true} faz com que meios-@^{a}ngulos sejam simplificados
imediatamente.
@item trigexpandplus
Controla a regra "soma" para @code{trigexpand},
expans@~{a}o de adi@value{cedilha}@~{o}es (e.g. @code{sin(x + y)}) ter@~{a}o lugar somente se
@code{trigexpandplus} for @code{true}.
@item trigexpandtimes
Controla a regra "produto" para @code{trigexpand},
expans@~{a}o de produtos (e.g. @code{sin(2 x)}) ter@~{a}o lugar somente se
@code{trigexpandtimes} for @code{true}.
@end table

Exemplos:

@c ===beg===
@c x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
@c trigexpand(sin(10*x+y));
@c ===end===
@example
(%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
                         2           2
(%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
(%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
(%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)

@end example

@end deffn

@defvr {Vari@'{a}vel de op@value{cedilha}@~{a}o} trigexpandplus
Valor padr@~{a}o: @code{true}

@code{trigexpandplus} controla a regra da "soma" para
@code{trigexpand}.  Dessa forma, quando o comando @code{trigexpand} for usado ou o
comutador @code{trigexpand} escolhido para @code{true}, expans@~{a}o de adi@value{cedilha}@~{o}es
(e.g. @code{sin(x+y))} ter@~{a}o lugar somente se @code{trigexpandplus} for
@code{true}.

@end defvr

@defvr {Vari@'{a}vel de op@value{cedilha}@~{a}o} trigexpandtimes
Valor padr@~{a}o: @code{true}

@code{trigexpandtimes} controla a regra "produto" para
@code{trigexpand}.  Dessa forma, quando o comando @code{trigexpand} for usado ou o
comutador @code{trigexpand} escolhido para @code{true}, expans@~{a}o de produtos (e.g. @code{sin(2*x)})
ter@~{a}o lugar somente se @code{trigexpandtimes} for @code{true}.

@end defvr

@defvr {Vari@'{a}vel de op@value{cedilha}@~{a}o} triginverses
Valor padr@~{a}o: @code{all}

@code{triginverses} controla a simplifica@value{cedilha}@~{a}o de
composi@value{cedilha}@~{o}es de fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas e hiperb@'{o}licas com suas fun@value{cedilha}@~{o}es
inversas.

Se @code{all}, ambas e.g. @code{atan(tan(@var{x}))} 
e @code{tan(atan(@var{x}))} simplificar@~{a}o para @var{x}.  

Se @code{true}, a simplifica@value{cedilha}@~{a}o  de @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))} 
@'{e} desabilitada.

Se @code{false}, ambas as simplifica@value{cedilha}@~{o}es  
@code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))} e  
@code{@var{fun}(@var{arcfun}(@var{x}))}
s@~{a}o desabilitadas.

@end defvr

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} trigreduce (@var{expr}, @var{x})
@deffnx {Fun@value{cedilha}@~{a}o} trigreduce (@var{expr})
Combina produtos e expoentes de senos e cossenso
trigonom@'{e}tricos e hiperb@'{o}licos de @var{x} dentro daqueles de m@'{u}ltiplos de @var{x}.
Tamb@'{e}m tenta eliminar essas fun@value{cedilha}@~{o}es quando elas ocorrerem em
denominadores.  Se @var{x} for omitido ent@~{a}o todas as vari@'{a}veis em @var{expr} s@~{a}o usadas.

Veja tamb@'{e}m @code{poissimp}.

@c ===beg===
@c trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
@c ===end===
@example
(%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
               cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
(%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
                  2             2       2        2

@end example

As rotinas de simplifica@value{cedilha}@~{a}o trigonom@'{e}trica ir@~{a}o usar informa@value{cedilha}@~{o}es
declaradas em alguns casos simples.  Declara@value{cedilha}@~{o}es sobre vari@'{a}veis s@~{a}o
usadas como segue, e.g.

@c ===beg===
@c declare(j, integer, e, even, o, odd)$
@c sin(x + (e + 1/2)*%pi);
@c sin(x + (o + 1/2)*%pi);
@c ===end===
@example
(%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
(%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
(%o2)                        cos(x)
(%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
(%o3)                       - cos(x)

@end example

@end deffn

@defvr {Vari@'{a}vel de op@value{cedilha}@~{a}o} trigsign
Valor padr@~{a}o: @code{true}

Quando @code{trigsign} for @code{true}, permite simplifica@value{cedilha}@~{a}o de argumentos
negativos para fun@value{cedilha}@~{o}es trigonom@'{e}tricas. E.g., @code{sin(-x)} transformar-se-@'{a} em
@code{-sin(x)} somente se @code{trigsign} for @code{true}.

@end defvr

@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} trigsimp (@var{expr})
Utiliza as identidades @math{sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1} and
@math{cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1} para simplificar express@~{o}es contendo @code{tan}, @code{sec},
etc., para @code{sin}, @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh}.

@code{trigreduce}, @code{ratsimp}, e @code{radcan} podem estar
habilitadas a adicionar simplifica@value{cedilha}@~{o}es ao resultado.

@code{demo ("trgsmp.dem")} mostra alguns exemplos de @code{trigsimp}.
@c MERGE EXAMPLES INTO THIS ITEM

@end deffn

@c NEEDS CLARIFICATION
@deffn {Fun@value{cedilha}@~{a}o} trigrat (@var{expr})
Fornece uma forma quase-linear simplificada can@^{o}nica de uma
express@~{a}o trigonom@'{e}trica; @var{expr} @'{e} uma fra@value{cedilha}@~{a}o racional de muitos @code{sin},
@code{cos} ou @code{tan}, os argumentos delas s@~{a}o formas lineares em algumas vari@'{a}veis (ou
kernels-n@'{u}cleos) e @code{%pi/@var{n}} (@var{n} inteiro) com coeficientes inteiros. O resultado @'{e} uma
fra@value{cedilha}@~{a}o simplificada com numerador e denominador ambos lineares em @code{sin} e @code{cos}.
Dessa forma @code{trigrat} lineariza sempre quando isso for pass@'{i}vel.

@c ===beg===
@c trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
@c ===end===
@example
(%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
(%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1

@end example

O seguinte exemplo encontra-se em
Davenport, Siret, and Tournier, @i{Calcul Formel}, Masson (ou em ingl@^{e}s,
Addison-Wesley), se@value{cedilha}@~{a}o 1.5.5, teorema de Morley.

@c ===beg===
@c c: %pi/3 - a - b;
@c bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
@c ba: bc, c=a, a=c$
@c ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
@c trigrat (ac2);
@c ===end===
@example
(%i1) c: %pi/3 - a - b;
                                    %pi
(%o1)                     - b - a + ---
                                     3
(%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
                      sin(a) sin(3 b + 3 a)
(%o2)                 ---------------------
                           sin(b + a)
(%i3) ba: bc, c=a, a=c$
(%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
         2       2
      sin (a) sin (3 b + 3 a)
(%o4) -----------------------
               2
            sin (b + a)

                                        %pi
   2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
                                         3
 - --------------------------------------------------------
                           %pi
                   sin(a - ---) sin(b + a)
                            3

      2         2         %pi
   sin (3 a) sin (b + a - ---)
                           3
 + ---------------------------
             2     %pi
          sin (a - ---)
                    3
(%i5) trigrat (ac2);
(%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)

 - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)

 - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)

 + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)

 + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)

 + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)

 - 9)/4

@end example

@end deffn

